هفت مسئله در سال 2000 از سوی موسسه ریاضی کِلِی به عنوان مسائل هزاره مطرح شدند که به حل هر یک از این ها جایزه یک میلیون دلاری تعلق می گیرد. تا زمان حاضر تنها یکی از این هفت مساله یعنی حدس پوآنکاره حل شده است. اثباتی از این حدس در سال 2003 توسط پِرلمان بر مبنای کارهای ریچارد هامیلتون داده شد. این اثبات در سال 2006 کامل شد و به همین دلیل نشان فیلدز به پرلمان تعلق گرفت اما وی از قبول آن امتناع ورزید. او همچنین جایزه یک میلیون دلاری موسسه کلی را نپذیرفت. آن طور که خود پرلمان گفته این جوایز ناعادلانه اند، چرا که سهم او در حل این مسئله بیشتر از هامیلتون نبوده است.
برای اینکه این مسئله را بیان کنیم ابتدا باید درکی از مفهوم فضای همبند ساده داشته باشیم. به طور شهودی یک فضا همبند ساده است اگر بتوانیم هر حلقه در آن را به یک نقطه جمع کنیم. مثلا حلقه روی کره در شکل زیر را می توانیم به یک نقطه جمع کنیم:
بنابراین کره یک فضای همبند ساده است. اما حلقه دور سوراخ در شکل زیر را نمی توان جمع کرد:
بنابراین این فضا همبند ساده نیست. مفهوم دیگری که به آن نیاز داریم خمینه بسته است. یک خمینه بسته یک خمینه فشرده بدون مرز است. مثلا کره یک خمینه بسته است ولی شکل دوم دارای مرز است و بنابراین بسته نیست. کره تنها خمینه بسته و همبند ساده 2-بعدی است. بقیه خمینه های 2-بعدی بسته حداقل یک سوراخ دارند و بنابراین همبند ساده نیستند:
حدس پوآنکاره بیان می کند که همین حکم نیز در بعد سه درست است. به عبارت دقیق تر
هر خمینه 3-بعدی بسته و همبند ساده با کره 3-بعدی یکریخت است.
شش مسئله حل نشده هزاره عبارتند از: P در برابر NP، حدس هاج، فرض ریمان (که به تازگی مایکل اتیا ادعا کرده آن را حل کرده است.)، وجود یانگ--میلز و شکاف جرم، همواری و وجود ناویر-استوکس، حدس بیرچ و دایر-سوینرتن.
امیدواریم در آینده راجع به بقیه مسائل و همچنین درباره تلاش هایی که برای حل حدس پوآنکاره صورت گرفت مطالبی قرار دهیم.
